动态规划：01 背包

一、问题定义

有 $N$ 件物品和一个容量是 $V$ 的背包，第 $i$ 件物品的体积是 $v_i$，价值是 $w_i$。

每件物品只能使用一次。求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。输出最大价值。

二、算法思想

三、代码实战

AcWing 0002

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题目：01 背包问题

有 $N$ 件物品和一个容量是 $V$ 的背包，第 $i$ 件物品的体积是 $v_i$，价值是 $w_i$。

每件物品只能使用一次。求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，$N,\ V$，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 $N$ 行，每行两个整数 $v_i,\ w_i$，用空格隔开，分别表示第 $i$ 件物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

$0 \lt N,\ V \le 1000$

$0 \lt v_i,\ w_i \le 1000$

输入样例：

4 5

1 2

2 4

3 4

4 5

输出样例：

8

解答代码：

朴素解法：二维存储。

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;
int v[N], w[N];
int f[N][N];

int main()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> v[i] >> w[i];
    }
    
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 0; j <= m; j++) {
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            if (j >= v[i]) {
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
            }
        }
    }
    
    cout << f[n][m] << endl;
    
    return 0;
}

优化解法：滚动数组一维存储。

• 朴素解法中，第一维只用到了 $i$ 和 $i - 1$ 的状态；
• 朴素解法中，第二维只用到了 $\le j$ 的状态。

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;
int v[N], w[N];
int f[N];

int main()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> v[i] >> w[i];
    }
    
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = m; j >= v[i]; j--) {
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
        }
    }
    
    cout << f[m] << endl;
    
    return 0;
}

注意

第二层 for 循环是从大到小的。

如果按朴素解法中的从小到大更新，那么由于 j - v[i] 是严格小于 j 的，则更新语句等价于 f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j - v[i]] + w[i])，因此对 j 从大到小进行枚举，保证 f[j - v[i]] + w[i] 中记录的是 f[i - 1][j - v[i]] + w[i])。