概率论与数理统计(一)

第 1 讲:样本空间 随机事件

样本空间

随机试验的所有可能结果构成的集合称为样本空间,记为 $S=\{e\}$。$S$ 中的元素 $e$ 称为样本点。

随机事件

样本空间 $S$ 的子集 $A$ 称为随机事件 $A$,简称事件 $A$。当且仅当 $A$ 中的某个样本点发生称事件 $A$ 发生。

事件 $A$ 可用集合表示,也可用语言来表示。

事件分类

  • 如果事件在每次试验中总是发生,则称其为必然事件。
  • 如果事件只包含一个样本点,则称其为基本事件。
  • 如果事件是空集,里面不包含任何样本点,记为 $\phi$,则每次试验 $\phi$ 都不发生,称 $\phi$ 为不可能事件。

第 2 讲:事件的相互关系及运算

事件的关系

  • $A\subset{B}$:事件 $A$ 发生一定导致 $B$ 发生。
  • $A=B\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned}A\subset{B}\\B\subset{A}\\\end{aligned}\right.$

事件的运算及关系

  • $A$ 与 $B$ 的和事件,记为 $A\cup{B}$,表示 $A$ 与 $B$ 至少有一发生。
  • $A$ 与 $B$ 的积事件,记为 $A\cap{B}$ 或 $AB$,表示 $A$ 与 $B$ 同时发生。
  • $A$ 与 $B$ 的差事件,记为 $A-B$,表示 $A$ 发生 $B$ 不发生。

    • $A-B=A\overline{B}=A\cup{B}-B=A-AB$。
  • $A$ 的逆事件,记为 $\overline{A}$,也称 $A$ 的互逆、对立事件。

    • $A\cup\overline{A}=S$,$A\overline{A}=\phi$,$\overline{\overline{A}}=A$
  • 当 $AB=\phi$ 时,称事件 $A$ 与 $B$不相容或互斥。

事件的运算定律

交换律

  • $A\cup{B}=B\cup{A}$
  • $A\cap{B}=B\cap{A}$

结合律

  • $A\cup(B\cup{C})=(A\cup{B})\cup{C}$
  • $A\cap(B\cap{C})=(A\cap{B})\cap{C}$

分配率

  • $A\cup(B\cap{C})=(A\cup{B})\cap(A\cup{C})$
  • $A\cap(B\cup{C})=(A\cap{B})\cup(A\cap{C})$

对偶率(德·摩根定律)

  • $\overline{A\cup{B}}=\overline{A}\cap\overline{B}$
  • $\overline{A\cap{B}}=\overline{A}\cup\overline{B}$

对偶率推广

  • $\overline{\bigcap\limits_{i=1}^{n}A_i}=\bigcup\limits_{i=1}^{n}\overline{A_i}=\overline{A_1}\cup\overline{A_2}\cup\cdots\cup\overline{A_n}$
  • $\overline{\bigcup\limits_{i=1}^{n}A_i}=\bigcap\limits_{i=1}^{n}\overline{A_i}=\overline{A_1}\cap\overline{A_2}\cap\cdots\cap\overline{A_n}$

第 3 讲:频率

定义

$$f_n(A)=\frac{n_A}{n}$$

其中 $n_A$ 是 $A$ 发生的次数(频数),$n$ 是总试验次数。

称 $f_n(A)$ 为 $A$ 在这 $n$ 次试验中发生的频率。

性质

  1. $0\le{f_n(A)}\le{1}$
  2. $f_n(S)=1$
  3. 若 $A_1,A_2,\dots,A_k$ 两两不相容,则 $f_n(\bigcup\limits_{i=1}^{k}A_i)=\sum\limits_{i=1}^{k}f_n{A_i}$

注:$f_n(A)$ 随 $n$ 的增大渐趋稳定,稳定值为 $p$。

第 4 讲:概率

统计性定义

当试验的次数增加时,随机事件 $A$ 发生的频率的稳定值 $p$ 称为概率,记为 $P(A)=p$。

公理化定义

设随机试验对应的样本空间为 $S$,对每个事件 $A$,定义 $P(A)$,满足:

  1. 非负性:$P(A)\ge{0}$
  2. 规范性:$P(S)=1$
  3. 可列可加性:$A_1,A_2,\dots$ 两两互斥,则 $P(\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}A_i)=\sum\limits_{i=1}^{\infty}P(A_i)$

称 $P(A)$ 为事件 $A$ 的概率。

性质

  1. $P(\phi)=0$
  2. $P(A)=1-P(\overline{A})$
  3. 有限可加性:$A_1,A_2,\dots,A_n,A_iA_j=\phi,i\not=j\Rightarrow{P(\bigcup\limits_{i=1}^{n}A_i)=\sum\limits_{i=1}^{n}P(A_i)}$
  4. 若 $A\subset{B}$,则有 $P(B-A)=P(B)-P(A)$
  5. 概率的加法公式:$P(A\cup{B})=P(A)+P(B)-P(AB)$

性质 5 推广

$$P(\bigcup\limits_{i=1}^{n}A_i)=\sum\limits_{i=1}^{n}P(A_i)-\sum\limits_{1\le{i}<j\le{n}}P(A_iA_j)+\dots+(-1)^{n-1}P(A_1A_2\dots{A_n})$$

第 5 讲:等可能概型(古典概型)

定义

若试验满足:

  1. 样本空间 $S$ 中的样本点有限(有限性)
  2. 出现每一个样本点的概率相等(等可能性)

称这种试验为等可能概型(古典概型)。

$$P(A)=\frac{A所包含的样本点数}{S中的样本点数}$$

第 6 讲:条件概率

定义

$$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)},P(A)\not=0$$

性质

  1. 非负性:$P(B|A)\ge0$
  2. 规范性:$P(S|A)=1$
  3. 可列可加性:$B_1,B_2,\dots,B_n,B_iB_j=\phi,i\not=j\Rightarrow{P(\bigcup\limits_{i=1}^{n}B_i|A)=\sum\limits_{i=1}^{n}P(B_i|A)}$

注:$P(\cdot|A)$ 具有概率的所有性质。

乘法公式

当下面的条件概率都有意义时:

  • $P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)$
  • $P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)$
  • $P(A_1A_2\dots{A_n})=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1A_2)\dots{P(A_n|A_1A_2\dots{A_{n-1}})}$

第 7 讲:全概率公式与贝叶斯公式

全概率公式

设 $B_1,B_2,\dots,B_n$ 为 $S$ 的一个划分,且 $P(B_i)>0$,则有全概率公式:

$$P(A)=\sum\limits_{j=1}^{n}P(B_j)P(A|B_j)$$

注:在运用全概率公式时,关键是构造合适的划分。

贝叶斯公式

设 $B_1,B_2,\dots,B_n$ 为 $S$ 的一个划分且 $P(B_i)>0$,对 $P(A)>0$ 有 $Bayes$ 公式:

$$P(B_i|A)=\frac{P(B_i)P(A|B_i)}{\sum\limits_{j=1}^{n}P(B_j)P(A|B_j)}$$

第 8 讲:事件独立性

定义

设 $A,B$ 是两随机事件,如果 $P(AB)=P(A)P(B)$,则称 $A$ 与 $B$ 相互独立。

若 $P(A)>0,P(B)>0$,则:

$$P(AB)=P(A)P(B)\Rightarrow\left\{\begin{aligned}P(A|B)=P(A)\\P(B|A)=P(B)\\\end{aligned}\right.$$

Last modification:June 24th, 2020 at 05:10 pm
如果觉得我的文章对你有用,请随意赞赏